Podróżując po świecie Tales zapoznał się z osiągnięciami Egipcjan i Babilończyków w dziedzinie matematyki i astronomii. Posiadał np. praktyczne umiejętności pozwalające na przewidzenie zaćmienia Słońca na 585 r. p.n.e., czy zmierzenie wysokości piramid za pomocą cienia (na podstawie podobieństwa trójkątów). Umiejętności te były czysto techniczne, nie były poparte wiedzą naukową, wynikały z samej praktyki. Potrafiono dokonywać obliczeń nie umiejąc ich uzasadnić, czy przewidywać zjawiska nie znając ich przyczyn.
Tales prowadził badania nad udowodnieniem swoich twierdzeń oraz twierdzeń wcześniej postawionych przez matematyków egipskich, dając podstawy nauce przez zapoczątkowanie systematycznej rozbudowy pojęć i twierdzeń geometrycznych. Talesowi z Miletu przypisuje się wiele twierdzeń z geometrii:
- Średnica dzieli okrąg na połowy.
- Dwa kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe.
- Jeśli dwie linie przecinają się, to dwa kąty przeciwległe są równe.
- Kąt wpisany na półokręgu jest kątem prostym.
- Trójkąt jest określony, jeżeli dana jest jego podstawa i kąty przy podstawie.
Twierdzenie Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to stosunki długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta, są równe stosunkom długości odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta. Na przykład: |OA|:|OB| = |OA'|:|OB'| |OA|:|AB| = |OA'|:|A'B'| itd. lecz również, o czym często się zapomina: |OC|:|AC| = |OC'|:|A'C'| itd W sytuacji jak na rysunku, z twierdzenia Talesa wynika następująca proporcja: |OA |:|OB | = |AA' |:|BB' | często również nazywana (mylnie) twierdzeniem Tales
Twierdzenieodwrotne
Przestawiając założenia twierdzenia z tezą, otrzymujemy twierdzenie odwrotne do danego. Twierdzenie odwrotne często nie jest prawdziwe, dlatego przypadki, w których jednak ono zachodzi, są szczególnie godne uwagi. Tak jest właśnie z twierdzeniem Talesa. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa Jeżeli ramiona kąta przecięte są kilkoma prostymi i stosunki długości odcinków na jednym ramieniu kąta równe są stosunkom długości odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta, to dane proste są równoległe.Twierdzenie Talesa ma liczne zastosowania praktyczne i teoretyczne. Tu jedynie kilka z nich:
Pomiar wysokości piramidy
Według legendy Tales wyznaczył wysokość piramidy w Egipcie na podstawie długości cienia rzucanego przez kij, czym wprawił w zdumienie kapłanów. Oto jak mógł tego dokonać:
Na podstawie wniosku z twierdzenia Talesa zachodzi proporcja |OA|:|OB| = |AA'|:|BB'| skąd |BB'|=|AA'|ˇ|OB|:|OA|. Znając |AA'| - długość kija, mierząc |OA| - długość jego cienia i |OB| - długość cienia piramidy, natychmiast wyliczamy jej wysokość Analogicznie można obliczać wysokość innego wysokiego przedmiotu. Prawdopodobnie jednak Tales wykorzystał prostszy sposób - wbił w ziemię kij o znanej długości, odczekał chwili, gdy długość cienia jest równa długości kija, a następnie zmierzył długość cienia rzucanego przez piramidę.
Pomiar odległości statku od brzegu
Nieco inne rozumowanie pozwala obliczyć odległość statku znajdującego się na morzu.
Z wniosku z twierdzenia Talesa mamy: (|A'A|+x):|B'A'| = x:|BA| skąd x=|A'A|ˇ|BA|:(|B'A'|-|BA|). Mierząc długości odcinków występujących w tej równości wyznaczamy x.
Podział odcinka w danym stosunku
Dane są dwa odcinki o długościach a i b. Dany odcinek AB podzielić w stosunku a:b.
Rzut oka na rysunek i twierdzenie Talesa pozwalają stwierdzić, że punkt P dzieli odcinek w wymaganym stosunku. Powyższa konstrukcja była podstawą greckiej arytmetyki - pozwalała mnożyć i dzielić odcinki, które Grecy utożsamiali z liczbami.
